Profundización Cinemática final

Ejercicios con espacio en función del tiempo y vectores

lee detenidamente la demostración y haz los ejercicios de abajo

Supongamos que tenemos un movimiento descrito, en tres dimensiones, por la función r(t)=(3t² )i+ (2t+4)j-8k Nos piden:

• a)      Calcula la posición inicial y la distancia al origen r(t=0) y en t=2 y v=4 s
• b)      Calcula los vectores y modulo velocidad y la aceleración en esos mismos instantes
• c)       Calcula la velocidad cuando la posición es  r(t)=3i+6j-8k m
• d)      Calcula la posición cuando la velocidad vale 36i+2j m/s
• e)      Calcula el radio de curvatura en el instante t=2

En primer lugar, veras que la velocidad es la derivada del espacio en función del tiempo, y la aceleración es la derivada de la velocidad en función del tiempo:
a)      Calcula la posición inicial y la distancia al origen(t=0) y en t=2 y v=4 s
Solo hay que sustituir t en r(t)=(3t² )i+ (2t+4)j-8k para t=0s, 2s y 4s
Por ejemplo s(0)= 3·0² i+ (2·0-4)j-8k=+4j-8k,
igualmente r(2)=12i+8j-8k y r(4)=48i+12j-8k
la distancia al origen, se hace con d=[r(t)],(módulo de r) usando teorema de Pitágoras:
d(0) = (raizC(4^2+(-8)^2)=8,94m; d(2)=16,5 m y d(4)=50,11m
b)      Calcula los vectores y modulo velocidad y la aceleración en esos mismos instantes
Como la velocidad es la derivada de la posición, hay que derivar r(t)
V(t)=r´(t)= 6t·i + 2j;
Y ahora hay que sustituir para t=0, t=2 y para t=4s ;
v(0)= 6·0 i+ 2j=2 j m/s;  v(2)= 6·2i + 2j=12i + 2j m/s;  v(4)= 6·4i + 2=24 i + 2jm/s
Los módulos se calculan con el teorema de Pitágoras
[v(0)]=2 m /s  ; [v(2)]=12,17 m /s; [v(4)]=24,08 m /s                                                           
Como la aceleración es la derivada de la velocidad, hay que derivar s(t)
a(t)=v´(t)= 6i m/s2 , y como es constante, en este caso no hay que sustituir.
El módulo de la aceleración, obviamente es 6 m/s2 (sólo hay una componente)
 
f)       Calcula la velocidad cuando la posición es  r(t)=3i+6j-8k m
Tenemos que hallar el valor del tiempo para el que r(t)=3i+6j-8k:
3i+6j-8k =(3t² )i+ (2t+4)j-8k. Al despejar obtenemos t=1 s: Ahora, hallamos v para t=1s: v(1)= (3t² )i+ (2t+4)j-8k = 3i+6j-8k m/s
 
c)       Calcula la posición cuando la velocidad vale 36i+2j m/s
Tenemos que hallar el valor del tiempo para el que v=36i+2jm/s: 36i+2j =6t i + 2j. Al despejar obtenemos t=6 s:
Ahora, hallamos r(t) para t=6s: r(6)= 3·6^2 )i+ (2·6+4)j-8k=72i+16j-8k,
 
g)      Calcula el radio de curvatura en el instante t=2. Para hallar el radio de curvatura, hay que hallar la celeración normal, y para ello el ángulo A entre los vectores velocidad y aceleración en t=2 s. tenemos en cuenta que at=[a]·cosA y an=[a]·senA=
Ya sabemos que v(2)= 6·2i + 2j=12i + 2j m/s; [v(2)]=12,17 m /s ; a(2)=6i [a]=6; Para hallar el ángulo A
CosA=Producto escalar / Producto de modulos=(12i + 2j)·(6i)/(12,17:6)=0,986; A=9,6º; senA=0,17; Por sus componentes: at=[a]·cos(9,6º)=5,916 m/s2  y an=[a]·sen(9,6)=6·0,17=1,02 m/s2:
Como an=cuadrado módulo velocidad/Radio Curvatura an(2)=[v(2)]^2/R(2);
R(2)=[v(2)]^2/an=12,17^2/1,02=145m
Prueba ahora a hacer estos problemas:
1) sea  un tiro horizontal, cuya ecuación es r(t)=5ti + (40-5t2)j en unidades del SI
Nos piden:
a)      Calcula la posición y distancia para instante inicial(t=0)  y en t=1 s
b)      Calcula la velocidad y la aceleración en esos mismos instantes
c)       Calcula la velocidad cuando la posición es  r(t)= 15i+20j
d)      Calcula la posición cuando la velocidad vale 5i—25jm/s
e)      Calcula el radio de curvatura para t=2 s
 
2) Sea  el tiro parabólico descrito por r(t)=20t·i+(30t-5t2)j m/s
Nos piden:
a)      Calcula la posición inicial y la distancia (t=0) y en t=1 y t=4 s
b)      Calcula la velocidad y la aceleración en esos mismos instantes
c)       Calcula la velocidad cuando la posición vale r(t)=60i+45j m/s
d)      Calcula la posición cuando la velocidad vale 20i-30j m/s y el radio de curvatura en este instante