Ejercicios con espacio en función del tiempo y vectores
lee detenidamente la demostración y haz los ejercicios de abajo
Supongamos
que tenemos un movimiento descrito, en tres dimensiones, por la función r(t)=(3t2
)i+ (2t+4)j-8k
Nos piden:
- a) Calcula la posición
inicial y la distancia al origen r(t=0) y en t=2 y v=4 s
- b)
Calcula los vectores y
modulo velocidad y la aceleración en esos mismos instantes
- c)
Calcula la velocidad
cuando la posición es r(t)=3i+6j-8k m
- d)
Calcula la posición
cuando la velocidad vale 36i+2j m/s
- e)
Calcula el radio de
curvatura en el instante t=2
En primer lugar, veras que la
velocidad es la derivada del espacio en función del tiempo, y la aceleración es
la derivada de la velocidad en función del tiempo:
a)
Calcula la posición
inicial y la distancia al origen(t=0) y en t=2 y v=4 s
Solo
hay que sustituir t en r(t)=(3t2
)i+ (2t+4)j-8k
para
t=0s, 2s y 4s
Por
ejemplo s(0)= 3·02 i+ (2·0-4)j-8k=+4j-8k,
igualmente r(2)=12i+8j-8k y r(4)=48i+12j-8k
la distancia al origen, se hace con d=[r(t)],(módulo de r)
usando teorema de Pitágoras:
d(0) = (raizC(4^2+(-8)^2)=8,94m; d(2)=16,5 m y d(4)=50,11m
b)
Calcula los vectores y
modulo velocidad y la aceleración en esos mismos instantes
Como la velocidad es la derivada de la posición, hay
que derivar r(t)
V(t)=r´(t)= 6t·i + 2j;
Y ahora hay que sustituir para t=0, t=2 y
para t=4s ;
v(0)= 6·0 i+ 2j=2 j m/s; v(2)=
6·2i + 2j=12i + 2j m/s; v(4)=
6·4i + 2=24 i + 2jm/s
Los módulos se calculan con el
teorema de Pitágoras
[v(0)]=2 m /s ; [v(2)]=12,17 m /s; [v(4)]=24,08 m /s
Como la aceleración es la derivada de la velocidad, hay
que derivar s(t)
a(t)=v´(t)= 6i m/s2 , y como es constante, en este caso no hay que sustituir.
El módulo de la aceleración,
obviamente es 6 m/s2 (sólo hay una componente)
f)
Calcula la velocidad
cuando la posición es r(t)=3i+6j-8k m
Tenemos que hallar el valor del
tiempo para el que r(t)=3i+6j-8k:
3i+6j-8k =(3t2 )i+ (2t+4)j-8k. Al despejar obtenemos t=1 s: Ahora, hallamos v para t=1s: v(1)= (3t2 )i+ (2t+4)j-8k = 3i+6j-8k m/s
c)
Calcula la posición
cuando la velocidad vale 36i+2j m/s
Tenemos que hallar el valor del tiempo para el que v=36i+2jm/s:
36i+2j =6t i + 2j. Al despejar obtenemos t=6 s:
Ahora, hallamos r(t) para t=6s: r(6)=
3·6^2 )i+ (2·6+4)j-8k=72i+16j-8k,
g)
Calcula el radio de
curvatura en el instante t=2. Para hallar el radio de curvatura, hay que hallar
la celeración normal, y para ello el ángulo A entre los vectores velocidad y
aceleración en t=2 s. tenemos en cuenta que at=[a]·cosA y an=[a]·senA=
Ya sabemos que v(2)= 6·2i + 2j=12i + 2j m/s;
[v(2)]=12,17 m /s ; a(2)=6i [a]=6; Para hallar el ángulo A
CosA=Producto
escalar / Producto de modulos=(12i + 2j)·(6i)/(12,17:6)=0,986; A=9,6º; senA=0,17;
Por sus componentes: at=[a]·cos(9,6º)=5,916 m/s2 y an=[a]·sen(9,6)=6·0,17=1,02 m/s2:
Como
an=cuadrado módulo velocidad/Radio Curvatura an(2)=[v(2)]^2/R(2);
R(2)=[v(2)]^2/an=12,17^2/1,02=145m
Prueba
ahora a hacer estos problemas:
1) sea un tiro horizontal, cuya ecuación es r(t)=5ti +
(40-5t2)j en unidades del SI
Nos piden:
a)
Calcula la posición y
distancia para instante inicial(t=0) y
en t=1 s
b)
Calcula la velocidad y
la aceleración en esos mismos instantes
c)
Calcula la velocidad
cuando la posición es r(t)= 15i+20j
d)
Calcula la posición
cuando la velocidad vale 5i—25jm/s
e)
Calcula el radio de
curvatura para t=2 s
2) Sea el tiro parabólico descrito por r(t)=20t·i+(30t-5t2)j
m/s
Nos piden:
a)
Calcula la posición
inicial y la distancia (t=0) y en t=1 y t=4 s
b)
Calcula la velocidad y
la aceleración en esos mismos instantes
c)
Calcula la velocidad
cuando la posición vale r(t)=60i+45j m/s
d)
Calcula la posición
cuando la velocidad vale 20i-30j m/s y el radio de curvatura en este instante
