1 Bachillerato: Momento angular y conservación del momento angular

Figura 1

Al igual que para un movimiento rectilíneo o un movimiento general se habla de momento lineal o cantidad de movimiento, y se define como p=m·V, existe un análogo en el movimiento circular, que es el momento angular, L. La única diferencia es que L es formalmente un vector de dirección perpendicular al plano de giro, pero nosotros podemos prescindir de ese carácter vectorial
L, como en la figura 1, se define como el producto del momento de inercia I, por la velocidad angular, w.

Figura 2

El momento de inercia, I, en el movimiento circular es una magnitud análoga a la masa en el movimiento rectilíneo, pero a diferencia de esta, depende de la geometría del cuerpo, ya que describe cómo se distribuye la masa en un cuerpo en rotación. En la figura, tienes la fórmula del momento de inercia para algunos cuerpos (ICM significa, el valor del momento de inercia si el eje de giro pasa por el centro de masas e I sin CM cuando el eje de giro está en otro lado.

Para que veas un ejemplo de cómo se aplicaría: Supon una polea de 1500g (1,5 kg) y 20 cm (0,2 m) de radio, girando a 1 vuelta (6,28 rad/s, que se traduce en 6,28 s-1). Quieres hallar su momento de inercia y su momento angular:

I=MR^2/2=1.5·0,2^2/2=1,5·0,04/2=0,03 kgm2.

Ahora, el momento angular es 

L=I·w=0,03kg·m2·6,28 s-1= 0,19 kgm2/s (Unidades equivalentes  N·m·s), o sea, 0,19 N.m.s

Al igual que pasa con el momento lineal, si se aplica una fuerza durante un tiempo, se produce una variación del momento angular, cumpliéndose:

Imagina que ahora a esa polea se le aplica un momento de fuerzas de 0,3 N.m, tendente a acelerarlo durante 2s. La variación del momento angular será: 

Lf-Li=(M·t)= 0,3·2 = 0, 6 N.m.s

Por tanto, el momento angular final, será Lf=Li+0,6=0,79 N·m·s

Para hallar la nueva velocidad angular: w=Lf/I=0,79/0,03=26,28 rad/s, o 26,28 s-1

 La conservación del momento angular:

Figura 3

Fíjate en la figura, tenemos un señor girando que encoje los brazos y se pone a girar mucho más rápido, tanto que se marea. Este ejemplo pasa también con patinadores, pero también en movimientos planetarios (formación de estrellas en nebulosas) y en otros muchos ejemplos de la física. Esto es un ejemplo del principio de conservación del momento angular:

Cuando el momento de fuerzas externo, M, que actúa sobre un sistema es nulo, su momento angular, L permanece constante (Si no gira, no va a girar, si gira, el producto Iw debe ser constante)

Lo que le ha ocurrido al señor que gira es que al encoger los brazos, su valor de I (momento de inercia, proporcional a R^2 ha disminuido notablemente, y por tanto, su w debe aumentar.

Vamos a ver un ejemplo: Supon una esfera de 4 kg y 40 cm de radio girando en torno a un eje que pasa por su centro de masas a 2 rad/s. De repente, se comprime hasta tener un radio de 10 cm ¿Cuál será su nueva velocidad angular?

1º: Calculamos I inicial (Figura 2) = 2/5·MR^2=0,4·4·0,4^2=0,256 kgm2

2º: Calculamos L inicial: L=Iw=0,256kgm2·2s-1=0,512 kgm2/s

3º: Calculamos I final: 2/5·MR^2=0,4·4·0,1^2=0,016 kgm2

4º: Sabiendo que L es constante, calculamos w final: w=L/If=0,512/0,016=32 rad / s

Fíjate que al reducirse el radio 4 veces, la velocidad de giro se ha multiplicado por 16. Te parecerá que esto no sirve para nada, pero es la razón por la que existen los púlsares (estrellas de neutrones). Los púlsares son restos de estrellas muy grandes que giraban despacio y que se comprimen por acción de la gravedad a radios muy pequeños, por lo que pasan a tener velocidades angulares vertiginosas, emitiendo radiación con una frecuencia proporcional a la de rotación.

Ahora, resuelve tú estos problemas:

1) La rueda de un vehículo (Figura 2: I=MR^2) tiene una masa de 10kg y un radio de 30 cm. Inicialmente está en reposo. El motor le aplica un par de fuerza de 8N·m durante 4s. a)Calcula el momento de inercia, I, de la rueda b)Calcula la variación del momento angular debida al par de fuerza aplicado y el momento angular final c)Calcula la velocidad angular final y (teniendo en cuanta el radio) la velocidad lineal a la que equivale. d)Calcula el par necesario para detener la rueda en 2s (El par es lo mismo que el momento, M)

2) Cuando la rueda del ejercicio anterior se hace girar a 40 rad/s, revienta la cubierta, sin variar la masa, y su radio pasa a ser 20 cm. Calcula: a)Los momentos de inercia I, inicial y final, b) El momento angular, L de la rueda c)¿varía el momrento angular al reventar la rueda? d)Calcula la velocidad angular final de la rueda

3) Una barra metálica delgada de 60 cm de longitud y 2 kg gira en torno a un extremo (I=1/3 ML^2) a 100 rad/s. De repende, la barra se alarga hasta medir 90 cm a)calcula el momento de inercia, Iinicial de la barra b)Calcula el momento angular, L, de la barra c)Calcula el momento de inercia final de la barra d) calcula la velocidad angular final de la barra.