1 Bachillerato: Dinámica: problemas de poleas

Además de los problemas de planos inclinados, otros casos característicos de dinámica son los problemas con poleas: Cómo puedes ver en la imagen, en el caso típico, tenemos dos masas A y B, que llamaremos m1 y m2 colgando de sendos lados de una polea, que en este caso va a tener una masa despreciable. 
En estos casos, vamos a tener sistemas de ecuaciones bastante sencillos de resolver. Para la resolución es imprescindible dibujar el diagrama de fuerzas correctamente. Fíjate que en cada cuerpo, colgado de la cuerda hay al menos dos fuerzas aplicadas: Su peso y la tensión. El peso de cada cuerpo depende de su masa, pero la tensión, en este caso, es igual para ambos (debido a que no hay pérdidas en la polea). Ambos cuerpos tendrán la misma aceleración, que llamaremos a.

Fig 2

Vamos a resolver de forma genérica (Esto es, sin números, sólo considerando masas M1 y M2)
Caso 1: 2 cuepos de masas m1 y m2 colgando a distintos lados de las poleas:

Fig 3

 En primer lugar, dibujamos el diagrama de fuerzas aplicadas a cada uno de los dos cuerpos (Figura 2): Es sencillo, de cada cuerpo emergen su peso (Hacia abajo) y la tensión de la cuerda (hacia arriba). Es obvio que si las masas son diferentes y m1>m2, m1 baja, la polea gira en sentido horario, y m2 sube
Ahora, tenemos que plantear las ecuaciones de la dinámica a cada cuerpo: Fuerza resultante cuerpo 1 =Peso(grande)-Tensión=m1·a: m1·g-T=m1·a

Para el cuepo más ligero m2, la tensión le hace subir, así que, hay que plantear de esta forma: T-peso=m2·a
Cómo sabemos, el peso es mg.
Cómo vemos en la figura 3: el sistema de ecuaciones se resuelve sumando las ecuaciones para ambos cuerpos para quitarnos la tensión. Primero se averigua a, y a continuación, para el cuerpo 2, despejamos T y sustituimos:
Ahora resuelve: 
1) 2 cuerpos, uno de 10 kg y otro de 5 kg, cuelgan de una polea, estando el de 10 kg a la derecha. Dibuja el diagrama de fuerzas y resuelve, determinado la aceleración de los cuerpos y la tensión de la cuerda.

Caso 2: 2 cuerpos de masas m1 y m2: Uno (m1 cuelga de la cuerda y m2 está apoyado en un plano horizontal)

Figura 4

En este caso, m1 tenderá a caer por su peso (P1=m1·g), y, cómo ves en el diagrama de fuerzas, Figura 4,  la fuerza de rozamiento Fr del cuerpo 2, de valor umg es la que tiende a frenar el sistema. 

La única posibilidad que hay de que este sistema se mueva es que el cuerpo 1 caiga. Si el rozamiento es mayor, no hay movimiento.
Aplicamos las leyes de la dinámica a las masas 1 y 2, como ves en la figura 5:
masa1 (cae): m1·g - T = m1·a
Para el cuerpo 2: Nos interesan las fuerzas horizontales (Fr y T):

Figura 5

T - Fr = m2·a. 
De nuevo, para resolver se suman las dos ecuaciones, se despeja a, y después T. Lo tienes todo en la figura 5. Si la aceleración sale negativa, no es que m1 suba, sino que no hay movimiento porque prevalece la fricción. En este caso, para hallar T, sustituimos a por 0 (Ojo, solo si a sale negativa)
Ahora resuelve: 
2) 1 cuerpo, de 10 kg cuelga de una polea (lado derecho). Al otro lado de la polea, un cuerpo de 20 kg descansa sobre una superficie horizontal con coeficiente de rozamiento 0,2. Dibuja el diagrama de fuerzas y resuelve, determinado la aceleración de los cuerpos y la tensión de la cuerda.
3) 1 cuerpo, de 5 kg cuelga de una polea (lado izquierdo). Al otro lado de la polea, un cuerpo de 30 kg descansa sobre una superficie horizontal con coeficiente de rozamiento 0,2. Dibuja el diagrama de fuerzas y resuelve, determinado la aceleración de los cuerpos y la tensión de la cuerda.

Caso 3: 2 cuepos de masas m1 y m2: Uno (m1 cuelga de la cuerda y m2 está apoyado en un plano inclinado con rozamiento):
Este es, para vosotros, el caso más difícil, porque tenemos que valorar cuidadosamente para dónde se moverá el sistema y si la fuerza de rozamiento lo permitirá: Suponemos que el ángulo de  inclinación del plano es D

Figura 6

Para poder hacerlo, hay que comparar P1 con Ftdel cuerpo 2, o sea m1·g con m2gsenD(lo he puesto con letra griega). Si m1g es mayor, dibujamos la fuerza de rozamiento de m2 hacia abajo del plano, porque el sistema tiende a caer: 
Ahora las ecuaciones serán:
                         
Cuerpo 1;                          m1·g-T= m1·a
Cuerpo 2: T-Ft-Fr=m2a:   T-m2·g·senD-u·m2·g·cosD=m2·a
Al sumar, tendremos: m1g-m2·g·senD-u·m2·g·cosD=(m1+m2)·a
De aquí, despejamos a, y de las ecuaciones del cuerpo 2, despejamos T
Ahora resuelve: 
5) 1 cuerpo, de 10 kg cuelga de una polea (lado derecho). Al otro lado de la polea, un cuerpo de 10 kg descansa sobre una superficie inclinada 30º con coeficiente de rozamiento 0,2. Dibuja el diagrama de fuerzas y resuelve, determinado la aceleración de los cuerpos y la tensión de la cuerda.